关键词：桥梁工程;玻璃桥面板;车轮荷载作用;薄板弯曲分析;试验研究;有限元模拟;

基金：国家自然科学基金资助项目，项目编号51778058;陕西省自然科学基金资助项目，项目编号2018JQ5219;

随着桥梁工程和我国旅游产业的迅速发展，玻璃作为一种自重轻、强度高、透光性强和节能环保的材料被广泛应用在桥梁结构中。
近年来，玻璃不再局限于装饰作用，各地出现了大量采用玻璃板作为桥面系的车行景区桥梁，且数量及规模仍呈上升趋势。
然而，相关的理论研究却严重滞后于工程应用。
玻璃板根据支撑形式可以分成点支撑玻璃板及框支撑玻璃板，玻璃桥面板属于四边简支的框支撑玻璃板。
目前，众多学者对点支撑玻璃板的研究较多且较为完善，但在框支撑玻璃板方面则关注较少，且对于框支撑玻璃板的研究也多集中于建筑领域中均布荷载作用下的玻璃幕墙结构。
桥梁工程领域中车轮荷载作用下玻璃桥面板的受力特性问题尚未得到足够重视，因此值得更深入的研究。

目前，玻璃桥面板研究工作主要集中于理论计算及相关试验研究。
徐芝纶[1]假设四边简支矩形薄板的竖向挠曲函数为重三角级数形式，根据弹性曲面微分方程式，利用板壳结构力学的方法求得了均布荷载作用下的薄板小挠度弯曲问题的理论解，但未对结果进行验证。
《玻璃幕墙工程技术规范》(JGJ 102-2003)[2] 及《建筑玻璃应用技术规程》(JGJ 113-2015)[3]分别给出了均布荷载作用下四边简支玻璃板的应力及变形计算的解析表达式。
王综轶等[4]将均布荷载作用下四边简支玻璃板挠度的有限元分析结果、JGJ 102-2003及JGJ 113-2015的计算结果与文献[11]中的试验结果进行对比，发现有限元计算结果与试验结果最为接近，而JGJ 102-2003及JGJ 113-2015的计算结果均偏大，低估了玻璃板的整体承载性能，对比结果验证了有限元模型的可靠性；作者继续应用有限元分析方法对玻璃板设计进行了参数分析，但缺少相关理论依据。
唐鹏等[5]进行了四边简支及对边简支对边自由条件下玻璃桥面板承载力试验研究，分析了不同车轮荷载作用位置对桥面板承载力的影响；该研究进行了大量试验，但没有对试验现象背后的理论问题进行进一步探究。
董文堂等[6]应用板壳结构力学非线性大挠度理论，对四边简支及对边简支对边自由受均布法向风压荷载的玻璃板进行了力学分析，求得了相应的挠曲线函数。
王元清等[7,8,9,10]介绍了玻璃承重结构的工程应用概况，由非线性大挠度理论得出了各种不同结构的计算方法，并给出了四边简支玻璃楼板的设计实例。
王勋等[11]采用ANSYS有限元软件对四边简支夹层玻璃板受弯进行数值分析，并与受弯承载力试验结果比较，对现行规范JGJ 102-2003中关于夹层玻璃在风荷载等短期荷载作用下的挠度公式进行修正并给出修正系数。
Duc Nam Nguyen等[12]对玻璃板弹性变形过程中的挠度和应力进行了分析。
Kim Chi Kyung[13]对矩形玻璃板进行了有限差分法大位移分析。
从上述文献可以看出，受均布荷载作用的四边简支玻璃板弯曲问题的计算理论已经较为成熟，且进行了大量的试验研究及有限元模拟分析。
但是，在桥梁工程中，车轮荷载不能等同于均布荷载，现有的解析表达式不能套用，尚缺乏相关的理论研究。

本文基于国内外四边简支玻璃板弯曲问题的研究基础，结合车行玻璃桥面板的受力特性，对局部车轮荷载进行合理简化；基于薄板小挠度弯曲理论，应用重三角级数法最终求得了在车轮荷载作用下玻璃桥面板弯曲变形及内力的理论解，并通过有限元分析及模型试验对理论推导结果进行验证，为后续研究提供理论依据。

1 理论推导1.1车轮荷载简化

车辆荷载的车轮着地面实际接近于椭圆形。
参照《公路桥涵设计通用规范》(JTG D60-2015)[14],将局部车轮荷载简化为矩形面荷载。

1.2理论模型建立

基于薄板小挠度弯曲理论，将车轮荷载作用下框支撑玻璃桥面板简化为矩形均布荷载(c×d)作用下四边简支矩形玻璃薄板(a×b)。
理论计算模型如图1所示。

图1 理论推导模型 下载原图

四边简支矩形玻璃板边界条件为：

w(x=0)=0,∂2∂x2w(x=0)=0w(x=a)=0,∂2∂x2w(x=a)=0w(y=0)=0,∂2∂x2w(y=0)=0w(y=b)=0,∂2∂x2w(y=b)=0⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪         (1)w(x=0)=0,∂2∂x2w(x=0)=0w(x=a)=0,∂2∂x2w(x=a)=0w(y=0)=0,∂2∂x2w(y=0)=0w(y=b)=0,∂2∂x2w(y=b)=0}         (1)

另外，板挠度w除需满足四边的边界条件外，还需满足弹性曲面的双调和方程：

∇4w=qD         (2)∇4w=qD         (2)

D=Eδ312(1−μ)         (3)D=Eδ312(1-μ)         (3)

1.3理论模型求解

根据式(1)中相关边界条件，将挠度w的表达式取为如下的重三角级数形式。

w(x,y)=Σm=1∞Σn=1∞Amnsinmπxasinnπyb         (4)w(x,y)=Σm=1∞Σn=1∞Amnsinmπxasinnπyb         (4)

式中：m和n是正整数。

求出系数Amn,将式(4)代入双调和方程式(2),得到式(5)。

π4DΣm=1∞Σn=1∞(m2a2+n2b2)2Amnsin(mπxa)sin(nπyb)=q         (5)π4DΣm=1∞Σn=1∞(m2a2+n2b2)2Amnsin(mπxa)sin(nπyb)=q         (5)

将式(5)右边的q=q(x,y)展开为重三角级数：

q=Σm=1∞(Σn=1∞Cmnsin(mπxa)sin(nπyb))         (6)q=Σm=1∞(Σn=1∞Cmnsin(mπxa)sin(nπyb))         (6)

由傅里叶级数展开公式，得：

Cmn=4ab∫a−c2a+c2∫b−d2b+d2qsin(mπxa)sin(nπyb)dxdy         (7)Cmn=4ab∫a-c2a+c2∫b-d2b+d2qsin(mπxa)sin(nπyb)dxdy         (7)

将式(7)代回式(6),并将式(5)两边sin(mπxa)sin(nπyb)sin(mπxa)sin(nπyb)的系数进行对比，得

Amn=4∫a−c2a+c2∫b−d2b+d2qsin(mπxa)sin(nπyb)dxdyπ4abD(m2a2+n2b2)2         (8)Amn=4∫a-c2a+c2∫b-d2b+d2qsin(mπxa)sin(nπyb)dxdyπ4abD(m2a2+n2b2)2         (8)

对式(8)的分子进行积分，求出Amn,即：

Amn=16qsin(nπ2)sin(mπ2)sin(nπd2b)sin(mπc2a)π6Dmn(m2a2+n2b2)2         (9)Amn=16qsin(nπ2)sin(mπ2)sin(nπd2b)sin(mπc2a)π6Dmn(m2a2+n2b2)2         (9)

将式(9)代入式(4),即得挠度的表达式：

w(x,y)=Σm=1∞Σn=1∞16qsin(nπ2)sin(mπ2)sin(nπd2b)sin(mπc2a)sinmπxasinnπybπ6Dmn(m2a2+n2b2)2         (10)w(x,y)=Σm=1∞Σn=1∞16qsin(nπ2)sin(mπ2)sin(nπd2b)sin(mπc2a)sinmπxasinnπybπ6Dmn(m2a2+n2b2)2         (10)

由此，可以根据板壳结构力学的相关公式求得相应的应变及内力计算公式：

εx=z⋅Σm=1∞Σn=1∞16qnsin(nπ2)sin(mπ2)msin(nπd2b)sin(mπc2a)sin(mπxa)sin(nπyb)π6Dmn(m2a2+n2b2)2         (11)εx=z⋅Σm=1∞Σn=1∞16qnsin(nπ2)sin(mπ2)msin(nπd2b)sin(mπc2a)sin(mπxa)sin(nπyb)π6Dmn(m2a2+n2b2)2         (11)

εy=z⋅Σm=1∞Σn=1∞16qnsin(nπ2)sin(mπ2)msin(nπd2b)sin(mπc2a)sin(mπxa)sin(nπyb)π4b2mD(m2a2+n2b2)2         (12)εy=z⋅Σm=1∞Σn=1∞16qnsin(nπ2)sin(mπ2)msin(nπd2b)sin(mπc2a)sin(mπxa)sin(nπyb)π4b2mD(m2a2+n2b2)2         (12)

Mx=Σm=1∞Σn=1∞16qsin(nπ2)sin(mπ2)sin(nπd2b)sin(mπc2a)sin(mπxa)sin(nπyb)π4(m2a2+n2b2)2⋅(ma2n+μnb2m)         (13)Μx=Σm=1∞Σn=1∞16qsin(nπ2)sin(mπ2)sin(nπd2b)sin(mπc2a)sin(mπxa)sin(nπyb)π4(m2a2+n2b2)2⋅(ma2n+μnb2m)         (13)

My=Σm=1∞Σn=1∞16qsin(nπ2)sin(mπ2)sin(nπd2b)sin(mπc2a)sin(mπxa)sin(nπyb)π4(m2a2+n2b2)2⋅(nb2m+μma2n)         (14)Μy=Σm=1∞Σn=1∞16qsin(nπ2)sin(mπ2)sin(nπd2b)sin(mπc2a)sin(mπxa)sin(nπyb)π4(m2a2+n2b2)2⋅(nb2m+μma2n)         (14)

2 模型试验2.1试件设计

根据一般玻璃桥面板的尺寸及受力特点，确定试件尺寸为1 200 mm×1 200 mm ,厚度为12 mm。
玻璃的弹性模量为8.8×104MPa,泊松比为0.2。
试件质量符合国家标准《建筑用安全玻璃 第2部分：钢化玻璃》(GB 15763.2—2005)。

2.2试验加载及测点布置

设计了四边简支玻璃桥面板受压试验，试验中采用橡胶垫模拟车轮作用于玻璃桥面板。
试验加载设备采用微机控制电液伺服压力试验机。
采用单调分级加载，分级加至7.5 kN。
数据采集适当加密，以便得到较为平滑的曲线。
当荷载施加到9 kN后，试验停止加载。
试验中采用位移传感器来测量玻璃桥面板的变形量，采用应变计测试玻璃桥面板外表面应变变化规律。
位移和应变数据采集测试均采用TDS-302静态数据采集仪。
应变和位移测点均布置在板中下缘。
试验加载模型如图2所示。

3 有限元分析3.1玻璃本构关系

根据试验数据以及理论计算得到应力～应变关系，可认为在车轮荷载加至9 kN的范围内，玻璃始终处于弹性阶段。
因此，玻璃的应力～应变关系曲线采用弹性曲线。
根据2.1节中的试件设计参数，玻璃的弹性模量取8.8×104 MPa, 泊松比取0.2。

图2 加载模型 下载原图

3.2单元类型选取与边界及荷载模拟

根据2.1节中实际试件的材料特性、几何尺寸、加载方式及边界条件，使用ABAQUS有限元软件，建立相应的有限元模型。
模型采用八结点线性六面体C3D8R实体单元。
为提高计算精度，板厚度方向划分为5个单元。
由于理论推导以薄板小挠度弯曲理论和弹性理论为基础，所以有限元模型中不考虑材料非线性和几何非线性。
边界条件施加形式为：约束板底面四边沿Z方向自由度，约束一边沿X方向自由度及其邻边沿Y方向自由度。
荷载施加方式为：在顶面划分车轮荷载作用区域，并在其上施加压强荷载。
此外，为准确模拟理论推导模型，有限元模型中不考虑结构自重。
有限元模型如图3所示。

图3 有限元模型及边界条件 下载原图

4 结果对比分析

将试件尺寸及试验参数代入前文的式(10)～式(14)中，取前20阶级数分别计算出各级荷载作用下玻璃桥面板的最大挠度w、最大应变εx、εy及最大弯矩Mx、My,并与试验结果及有限元计算结果进行对比。
结果对比如图4～图7所示。

图4 挠度结果对比 下载原图

图5 应变结果对比 下载原图

图6 应变结果对比 下载原图

图7 弯矩结果对比 下载原图

结果表明，试验值与有限元值之间的误差较小，这验证了本文的有限元模型的可靠性。
理论值与有限元值及试验值的变化趋势一致，吻合良好；理论值与有限元值之间为线性关系，这与理论推导公式中各量值大小与荷载大小成正比的结论保持一致，验证了理论推导公式的正确性。
对于挠度及应变，理论值与试验值的相对误差最大值分别为5.99%、14.04%、12.74%,略大于试验值与有限元值的相对误差。
除挠度外，应变及内力均以理论值为最大，有限元值次之，试验值最小。
而挠度则出现完全相反的趋势，这与通常意义上挠度与应变及内力正相关的结论并不相符，原因在于理论推导所基于的薄板小挠度弯曲理论的缺陷。
在进行理论推导时，除弹性力学的基本假定外，还增设了3条假定，分别是，中面任一法线上各点都具有相同的挠度；中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并成为弹性曲面的法线；中面的任一部分在平面内的投影形状保持不变[1]。
根据以上假定，将空间问题转化为平面问题，理论模型中荷载及边界条件均施加在中面上，与试验及有限元模型不符。
上述假定在实际中并不满足，所以理论值与试验值及有限元值之间存在一定的误差，但误差在可接受范围内，能够满足工程计算需要。

5 结语

(1)基于薄板小挠度弯曲理论，本研究建立了车轮局部轮压荷载作用下玻璃桥面板弯曲问题的求解方程，给出了玻璃板挠度、应变、应力、剪力和弯矩的解析表达式，为车行玻璃桥面板设计计算提供了理论基础。

(2)本研究中玻璃板模型试验与有限元分析给出了车辆局部轮压荷载作用下玻璃桥面板弯曲变形情况，其荷载～变形情况符合重三角级数挠曲函数这一假定。
基于该挠曲函数，本文中挠度、应变和应力的理论计算值与试验值及有限元值吻合较好，这表明本文的解析公式的计算结果是可靠的。

(3)本研究给出了一种分析局部车轮荷载作用下四边简支板的弯曲性能的解析方法，丰富了薄板弯曲分析理论。

参考文献

[1] 徐芝纶.弹性力学[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2] JGJ 102-2003 玻璃幕墙工程技术规范[S].

[3] JGJ 113-2015 建筑玻璃应用技术规程[S].

[4] 王综轶，王元清，李运生.玻璃天桥和玻璃栈道中钢化玻璃的受力及设计分析[J].工业建筑，2019,49(10):110-116.

[5] 唐鹏，宫赛，梁鹏，等.不同边界条件下玻璃桥面板承载力试验研究[J].深圳大学学报：理工版，2020,37(1):84-90.

[6] 董文堂，邹东峰.幕墙玻璃板的非线性力学分析[J].土木工程学报，2001,(5):97-99.

[7] 王元清，张恒秋，石永久.面内受弯玻璃板承载性能的有限元分析[J].建筑结构，2008,290(2):100+120-122.

[8] 王元清，张恒秋，石永久.玻璃承重结构的设计计算方法分析[J].建筑科学，2005,(6):26-30+44.

[9] 王元清，石永久，张恒秋.玻璃承重结构的工程应用及其设计分析[J].工业建筑，2005,(2):6-10.

[10] 王元清，张恒秋，石永久.面内受弯玻璃板的承载及稳定性试验研究[J].清华大学学报：自然科学版，2006,(6):773-776.

[11] 王勋，张其林，陶志雄，等.四边简支夹层玻璃承载性能理论和试验研究[J].建筑结构，2012,42(2):173-175.

[12] Nguyen D N,Yuan J L,Lv B H,et al.Deflection and Stress Analysis of Glass Plate in Elastic Deformation Processing[J].Applied Mechanics and Materials,2010.

[13] Kyung K C.A Finite Difference Large Displacement Analysis of Rectangular Thin Glass Plate[J].Journal of the Korean Society of Safety,1995,10(2):129-133.

[14] JTG D60-2015 公路桥涵设计通用规范[S].

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